algebraische Struktur

algebraische Struktur,

 

fundamentaler Begriff der modernen Algebra: Ist in einer nichtleeren Menge M von Elementen a, b,.. . eine Verknüpfung (Zeichen °) der Elemente als zweistellige algebraische Operation definiert, dann bildet das System (M, °) eine algebraische Struktur (genauer: eine algebraische Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung), die auch als Verknüpfungsgebilde bezeichnet wird. In ihr ist also jedem Elementenpaar a, b ∈ M eindeutig ein Element a ° b ∈ M zugeordnet. Beispiele sind das System (ℕ, + ), gebildet aus der Menge ℕ der natürlichen Zahlen und der Addition (+) als Verknüpfung, und das System (ℝ, · ), gebildet aus der Menge ℝ der reellen Zahlen und der Multiplikation ( · ) als Verknüpfung. Keine algebraische Struktur ist das System (ℕ, —), also die Menge der natürlichen Zahlen mit der Subtraktion als Verknüpfung. Häufig werden auch algebraische Strukturen mit zwei und mehr zweistelligen Verknüpfungen betrachtet, etwa (ℚ, +, · ) als die Menge ℚ der rationalen Zahlen mit den Verknüpfungen der Addition und Multiplikation oder (ℤ, +, —, · ) als die Menge ℤ der ganzen Zahlen mit den Verknüpfungen der Addition, Subtraktion und Multiplikation, von denen keine aus ℤ herausführt. Spezielle algebraische Strukturen sind die Gruppen, Körper und Ringe, die Algebren (Algebra) und jeder Verband. In der modernen Algebra untersucht man, welche Gesetzmäßigkeiten in solchen algebraischen Strukturen gelten können.

 

Literatur:

 

S. Lang: A. Strukturen (a. d. Engl., 1979);

 G. Simm u. H. H. Gonska: A. Strukturen (1980);

 R. Lidl u. G. Pilz: Angewandte abstrakte Algebra, 2 Bde. (1982).